Persoalan Kombinatorik

Persoalan kombinatorik sebenarnya bukan merupakan persoalan yang belu pernah diketahui oleh masyarakat umum. Banyak persoalan kombinatorik yang sederhana telah sering diselesaikan oleh masyarakat. Persoalan yang sering dilakukan misalnya membentuk suatu tim bola basket yang terdiri dari 5 pemain. Apabila ada 7 orang siswa yang ingin membentuk suatu tim bola basket maka berapa tim bola basket dapat dibentuk? Oersalahana oalin addalah menujukan bahwa jumlah seluruh kartu domino yang ada adalah 28 buah. Kedua persoalan tadi merupakan persoalan – persoalan kombinatorik yang paling mudah untuk diselesaikan. Tetapi selain itu para ilmuan pada berbagai bidang juga kerap menemukan sejumlah ersoalan kombinatorik yang harus diselesaikan.

          Seorang ahli komnikasi dalam menetukan kode – kode morse yang terdiri dari titik (“.”) dan garis (“-“), harus mengetahui jumlah kombinsasi pola dari titik dan garis yang dapat dibentuk unutk jumlah titik dan garis yang dapat digunakan telah ditentukan. Seorang ahli fisika kerap ingin mengetahui jumlah dari electron yang dapat disebabkan atau menempati suatu tingkat energy yang berbeda. Sedangkan seorang ahli kimia lebih rtrtarik pada jumlah dari pola melekul yang dapat dibentuk oleh sejumlah molekul yang ada.

          Ke semua persoalan di atas merupakan salah satu contoh dari suatu persoalan kombinatorik. Seperti telah diduga sebelumnya, asal – usul dari bidang dan persoalan – persoalan kombinatorik adalah bidang matematika yang banyak berhubungan de3ngan permainan atau digunakan sebagai soal – soal hiburan saja. Banyak persoalan – persoalan kombnatorik yang telah sejak dahulu kala dibicarakan orang, tetapi baru beberapa waktu yang lalu dapat diselesaikan atau diperoleh jawabannya secara sempurna. Salah satu contoh dari persoalan dmikian adalah suatu persoalan yang dikenal dengan nama persoalan 4 warna ( four color conjecture). Persoalan ini mulai dibicarakan orang pada tahun 1850 dan baru dapt diselesaikan oleh appel dari university of Illinois pada sekitar tahun 1976, persoalan lain yang juga merupakann persoalan kombinatorik adalah teori graph, yang mulai dicetuskann idenya oleh euler pada tahun 1736 dan kenal nama persoalan jembatan Konigsberg. Persoalan ini termasuk dalam kelas persoalan sirkit Euler dan sekarang ini banyak penilitian yang memperlajari lebih lanjut sifat – sifat dari sirkit Euler dalam teori Graph.

          Pada umumnya persoalan kombinatorik itu bersifat diskrit dan tidak mudah unutk diselesaikan dengan pensil dan kertas saja. Perkembangan dalam biddang kombinatorik sekarang ini maju dengan pesat sekali. Hal ini terutama deisebbakan oleh ditemukannya system dan peralatan computer yang mempunyai kecepatan perhitungan yang tinggi sekali. Selain itu banyak persoalan – persoalan kombinatorik yang tidak dapatt diseled=saikan bantuan kpmmputer. Dalam menyelesaikan ersoalan 4 warna, appel menggunakan computer selama sekitar 1200 jam dengan mengmbil sekitar 10 milyar keputusan logika.

          Persoalan kombinatorik berkisar pada persoalan pencacahan atau klasifikasi dari suatu pengaturan. Dasar utama dari peroslann ini adalah tori permutasi dan kombinasi jadi kata – kata seleksi, pola pengaturan, permutasi serta kombinasi serinng kali digunakan. Misalakan di berikan 5 buah buku yang berbeda maka dapat dilakukan pengaturan buku – buku sebanyak 120 pola pengaturan yang berbeda. Jadi pertanyaan – pertanyaan yang sering timbul dalam persoalan kombinatorik antara lain “mungkinkah dilakukan pengaturan sejumlah …. “, “berapa banyak pengaturan yang memenuhi sifat…” atau “hitung jun\mlah pola yang berbeda dari …”. Hal yang patut diwaspadai disini adalah ledaka kombinatorik yaitu jawaban dari suatu persoalan kombinatorik yang kelihatannya sangat sederhana karena hanya terdiri dari beberapa data saja, tetapi jawaban yang diberikan dapat menjadi sangat besar sekali. Dalam menyelesaikan persoalan kombinatorik harus dilakukan analisa persoalan secara mendalam untuk mengetahui kelompok – kelompokk persoalan mana yang sesuai dengan persoalan tersebut. Dan baru setelah klasifikasi persoalan telah dapat ditentukan maka persoalan tersebut dapat diselesaikan dengan teori – teori yang ada.

1. Definisi Teori Kombinatorik

            Dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai persoalan-persoalan sebagai berikut:

a.    Dengan berapa cara dapat disusun n obyek menurut aturan tertentu?

b.    Dengan berapa cara pengambilan sejumlah r obyek dari n obyek yang ada, bila

     r < n?

c.    Dengan berapa cara sesuatu kejadian kejadian dapat terjadi?

            Persoalan-persoalan di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan kombinatorik. Kombinatorial (Combinatoric) adalah cabang matematika yang mempelajari pengaturan objek-objek tanpa harus mengenumerasi terlebih dahulu. Solusi yang ingin kita peroleh adalah jumlah cara pengaturan objek-objek tertentu di dalam himpunannya.

2.      Kaidah Menghitung dalam Teori Kombinatorik

a.      Prinsip Penjumlahan

Misal:

Percobaan 1 : p hasil p ercobaan

Percobaan 2 : q hasil percobaan

Maka Percobaan 1 atau Percobaan 2 akan menghasilkan p + q kemungkinan jawaban yang mungkin terjadi.

b.      Prinsip Perkalian

Misal:

Percobaan 1 : a hasil percobaan

Percobaan 2 : b hasil percobaan

Maka Percobaan 1 dan Percobaan 2 akan menghasilkan a x b kemungkinan jawaban yang mungkin terjadi.

Kaidah perkalian dan kaidah penjumlahan tersebut juga dapat diperluas sehingga mengandung lebih dari dua buah percobaan. Misalkan ada n percobaan, masing-masing dengan hasil pi, maka hasil yang mungkin adalah: p₁ x p₂ x … x p_n untuk kaidah perkalian.

p₁ + p₂ +… + p_n untuk kaidah penjumlahan.